Estudo de Matemática

Muitas pessoas pensam que estudar para participar de uma olimpíada de matemática é avançar na matéria escolar. E não é nada disso. Os problemas não exigem uma dose maior de conhecimento, e sim o despertar de um raciocínio e de muita criatividade. Em olimpíadas de matemática são dados em gerais problemas de lógica onde o estudante deve chegar a uma das maneiras de resolver tais problemas. As sub-áreas pelo qual é composta uma prova olímpica de Matemática são: Álgebra, Combinatória, Geometria e Teoria dos Números.

Competições

A mais importante competição internacional é a IMO, nacional é a OBM existindo ainda a OBMEP, que com cerca de 19 milhões de participantes, faz dela a maior olimpíada de matemática do mundo.

Guia OC

Guia de estudos sugerido pela equipe do OC

Como o conteúdo das olimpíadas de matemática é longo, e sua intersecção com o conteúdo oficial da escola costuma ser pequeno, diversos alunos tem dúvidas de o que estudar, sem saber o nome das teorias que deveria ler. Por isso, segue abaixo, transcrito, parte do texto da OBM: Orientações para alunos que pretendem ir para a IMO.

Os principais assuntos de cada área são:

(i) Teoria dos Números: teorema de Euler-Fermat (incluindo menor expoente e Lema de Hensel), teorema Chinês dos Restos, Raízes Primitivas, Equação de Peil (generalizada ou não), Resíduos Quadráticos e Reciprocidade Quadrática, Noções de Aproximações Diofantinas. Obtenção de novos fatores primos a partir de mdcs pequenos; “Se você fatorar, tire o mdc dos fatores”.

(ii) Geometria: arrastão de ângulos; lei dos senos (e uma boa intimidade com Trigonometria); teorema de Ptolomeu, Ceva e Menelaus, reta de Euler; circunferência dos nove pontos; eixo radical; circunferência de Apolônio. Inversão. Geometria Projetiva Instrumental. Noções de Transformações Geométricas: rotações, roto-homotetias e suas “semelhanças automáticas”; homotetia e composição de homotetias. Desigualdade de Erdôs-Mordell; teorema isoperimétrico. Geometria Analítica: uso como estratégia vencedora (com o auxílio da trigonometria e números complexos). Números Complexos. Vetores. Coordenadas Trilineares. Conjugados isogonais. Simedianas.

(iii) Álgebra:

(iii-1) Polinômios: Paralelo com Números Inteiros (divisibilidade, divisão eudidiana, fatoração única, congruências, teorema chinês dos restos); polinômio interpolador de Lagrange; tabelas de diferença; irredutibilidade (teorema da raiz racional, lema de Gauss, critério de Eisenstein); fatoração única de polinômios com coeficientes em Z/pZ; polinômio minimal de um número algébrico; raízes da unidade como marcadores; análise.

(iii-2) Desigualdades: médias, Cauchy-Schwarz, médias potenciais; rearranjo; Chebyshev; Jensen; uso de pesos nas desigualdades citadas; considerações relativas à convexidade co falta dela (quando aproximar e afastar os pontos); utilização de indução; substituições (x = a - b + c, trigonométricas, etc); interpretações geométricas; desigualdades trigonométricas; Bunching e Schur.

(iii-3) Corpos Finitos: polinômios módulo primo; polinômio irredutível — alguns fatos e cálculos (sonho de todo estudante: (a + b)≡ a+ bp (mód. p)); utilização na solução de recorrências lineares módulo um primo.

(iii-4) Funções: pontos fixos; utilização de desigualdades para concluir fatos sobre crescimento e completeza (e.g., f(x²) = (f(x))² ↔ f(R) ≥ 0, cf. problema 2,  IMO Moscou); se f(f(x)) = g(x) e g é injetora, então f é injetora; se f(g(x)) = h(x) e h é sobrejetora, então f é sobrejetora; se g é sobrejetora e encontramos f(g(x)) em função de g(x) então o problema acabou (cf. problema 6, IMO 1999); equação de Cauchy (em geral, o caminho Z → Q → R); no caso de funções com domínio Z ou Q, verificar se f é multiplicativa; simplificar notação (fazer f(constante) = a); utilização de simetria (e falta dela) para obter relações.

(iii-5) Análise: teorema do valor intermediário (Bolzano); argumentos do tipo “para n suficientemente grande”.

(iii-6) Indução: indução completa; princípio da boa ordenação; indução em subconjuntos convenientes (multiplicativa, potências de 2); tomando a base de indução suficientemente grande; generalizando; fortalecendo a hipótese de indução.

(iv) Combinatória:

(iv-0) Estude casos pequenos: busca de padrões, obtenção de estruturas em contagens mais difíceis; estude casos grandes: comportamento assintótico de contagens.

(iv-1) Contagem e Contagem Dupla: bijeções; “tudo menos o que não interessa”; probabilidades; injeções, sobrejeções; obtenção de igualdades e desigualdades com contagem dupla, bijeções e injeções; recursões e estimativas utilizando recursões.

(iv-2) Princípio da Casa dos Pombos: formulação contínua, teorema de Kronecker, teorema de Ramsey.

(iv-3) Teoria dos Grafos: indução (sempre reduzindo o casou para os anteriores, e não o contrário); árvores; algoritmos em geral (problema 3 da IMO 2007); algoritmo de Kruskai; busca em profundidade; busca em largura; algoritmos de ordenação de conjuntos; caminhos e circuitos eulerianos; coloração de vértices em grafos, incluindo teorema das cinco cores; teorema de Turán; grafos planos (V - A + E = 2, teorema de Kuratowski); grafos bipartidos (caracterização: sem cíclos ímpares). Teorema dos casamentos, Max-Flow, Min-Cut.

(iv-4) Funções Geratrizes: fórmula de multisecção (números complexos como marcadores); utilização de várias variáveis; coeficientes em Z/pZ (recorrências lineares módulo p); analogia com pinturas em tabuleiros.

(iv-5) Geometria Combinatória: conceitos: diâmetro de um conjunto, conjunto convexo, fecho convexo; técnicas: casos extremos (problema de Silvester), princípio da casa dos pombos (problemas envolvendo pinturas do plano, coberturas); contagem (número de distâncias repetidas); determinação de possíveis posições de um ponto indeterminado; escolha de uma direção adequada.

(iv-6) Invariantes: determinação e construção de invariantes (paridade, restos, pinturas, funções); semi-invariantes (determinação e construção). “invariante automático” em recursões lineares homogêneas cujo polinõmio característico é divisível por x - 1.

(iv-8) Indução: como fazer a partir de casos pequenos; obtenção de algoritmos a partir da indução.

Ser rápido é importante!

Já estamos convictos de que todos os nossos representantes brasileiros na IMO conseguiriam 42 pontos se o tempo de prova fosse infinito; o próximo passo lógico é, então, ser mais rápido. Como fazer isso? Pense nos seguintes passos:
(1) Comece estudando bem a teoria, tendo o domínio dos assuntos. Tenha a coragem de estudar especialmente aquelas partes em que você não se dá muito bem, porque aí você não vai precisar depender da sorte para ir bem em uma prova.
(2) Exponha-se à maior quantidade de ideias possível. Resolva o mesmo problema com várias técnicas, até ser um “especialista” no problema.
(3) Tome cuidado para não ficar “bitolado” em alguma técnica. Não adianta dizer que “resolve todos os problemas de geometria com complexos” se você demora duas horas para resolver um problema que poderia sair em 10 minutos com uma transformação geométrica. Sempre tem um problema que não pode ser resolvido (pelo menos, em um tempo razoavelmente finito) com a sua “técnica favorita”. Dito isso,
(4) Veja como obter soluções mais curtas. Depois de resolver um problema pela primeira vez, pense em como você poderia tornar sua solução mais curta; se você seguiu o item anterior, pense nas vantagens e desvantagens de cada técnica. Procure a “essência” do problema. Depois de resolver um problema, pondere sobre quais ideias foram mais importantes e faça um resumo (escrito) dessas ideias (uma espécie de outline da solução, cujos detalhes são fáceis para você completar).
(5) Aprenda a usar e elaborar “macros” de ideias. Isto é, tente descobrir algum padrão de concatenação de ideias (os bons e velhos “lemas”) que seja frequente em certos problemas. Um bom exemplo é o lema de Hensel, que engloba uma indução com contas razoavelmente grandes que envolvem binómio de Newton em um só lema. Em outras palavras, estruture na sua cabeça as principais ideias e fique atento aos momentos em que você pode usá-las.

Material OC


Fórum do OC sobre Matemática

Links e livros recomendados

Links

Básico


OBMEP - Site oficial da OBMEP (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas), onde pode-se encontrar as apostilas utilizadas no Programa de Iniciação Científica, o Banco de Questões e as provas anteriores com suas respectivas soluções.

Loucos por Matemática - Um bom site para baixar exercícios e alguns artigos. É necessário se cadastrar.

Olimpédia - Wiki dedicada à matemática olímpica.

Médio


OBM - Site oficial da OBM (Olimpíada Brasileira de Matemática), onde pode-se encontrar as Revistas Eureka (revistas com artigos de matemática olímpica, publicada pela OBM com apoio da SBM), as provas de diversas olimpíadas de matemática nacionais e internacionais e os artigos utilizados nas Semanas Olímpicas, treinamentos oferecido para os premiados.

POTI - Site oficial do POTI (Polos Olímpicos de Treinamento Intensivo), onde pode-se encontrar todo o material e as aulas em vídeos do treinamento para olimpíadas de matemática.

Material do POTI-  Muito útil se você usa uma resolução de tela baixa e o banner do site oficial do POTI te atrapalha a ler o conteúdo.

Treinamento Cone Sul - Site com nome auto-explicativo. Possui várias listas de materiais para estudo e listas pelos quais é feito o treinamento para a olimpíada internacional Cone Sul.

Avançado


Seleção para a IMO e Iberoamericana - Site com nome auto-explicativo. Possui várias listas de materiais para estudo e listas pelos quais é feito o treinamento para a Olimpíada Internacional de Matemática (IMO) e Iberoamericana.

PECI - Blog oficial dedicado ao PECI (Preparação Especial para Competições Internacionais), com simulados de olimpíadas de matemática nacionais e internacionais.

Art of Problem Solving - Esse é um dos sites que o pessoal que participa pra valer da OBM mais recomendam. Com discussões de problemas de olimpíadas nacionais de diversos países e internacionais.

Livros

Básico

  • Revista Eureka!
    Por equipe OBM.
    Olimpíada Brasileira de Matemática - OBM

  • Banco de Questões, 2006 a 2012.
    Por equipe OBMEP.
    Olimpiada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas - OBMEP

Médio

  • Olimpíadas Brasileiras de Matemática, 1a. a 8a.
    Por Élio Mega e Renate Watanabe.
    Sociedade Brasileira de Matemática - SBM

  • Olimpíadas Brasileiras de Matemática, 9a. a 16a.
    Por Carlos Moreira, Edmilson Motta, Eduardo Tengan, Luiz Amâncio,
    Nicolau Saldanha e Paulo Rodrigues.
    Sociedade Brasileira de Matemática - SBM

  • 21 aulas de Matemática Olímpica.
    Por C.Y. Shine.
    Sociedade Brasileira de Matemática - SBM

  • Iniciação à Matemática: um curso com problemas e soluções.
    Por Krerley Oliveira e Adan Fernandez.
    Sociedade Brasileira de Matemática - SBM


Avançado

  • The USSR Olympiad Problem Book.
    Por D.O. Shklarsky, N.N. Chentzov, I.M. Yaglom.
    Dover publications, Inc.


  • International Mathematical Olympiads, 1959-1977.
    Por Samuel L. Greitzer.
    The Mathematical Association of America - MAA

  • International Mathematical Olympiads, 1978-1985.
    Por Murray S. Klamkin.
    The Mathematical Association of America - MAA

Outros títulos nacionais e internacionais podem ser encontrados na relação quase completa da Biblioteca do PECI, aqui.